《数学分析I》课程教学大纲
一、课程信息及课程简介
(一)课程信息
课程英文 名称 | Mathematical Analysis I | 学分 | 5.5 | 总学时 | 88 |
课程 编码 | 0701220010 | 理论 学时数 | 88 | 实践 学时数 | 0 |
适用 专业 | 信息与计算科学 | 先修课程 | 初等数学 |
开设课程学院 | 理学院 |
课程 类别 | □通识课程 ■专业基础 □专业(□必修 □限选 □任选) □实践环节 |
(二)课程简介
《数学分析》 是信息与计算科学专业最重要的基础课之一,也是该专业学时最长的专业课程,这门课不仅是信息与计算科学专业各门后续课程的基础,而且也担负着培养学生的抽象思维能力,正确运用“数学语言”,顺利完成从初等数学到高等数学的过渡,为今后更进一步的学习打下基础的重要任务。《数学分析》课程强调学生现代数学思想和方法的掌握,以及数学应用能力的培养,为学生后续课程的学习和解决实际问题奠定坚实的数学基础;逐步培养学生抽象概括问题的能力、逻辑推理能力,创新思维能力、熟练的运算能力和自学能力,从而提高学生的数学素质,培养学生创造性、应用数学知识和技术来分析、解决实际问题的能力。
二、课程目标
(一)具体目标
通过学习本课程,学习者应:
课程目标1: 掌握数学分析的基本概念,熟悉数学分析中的论证方法,获得熟练的演算技能和初步应用的能力。
课程目标2: 提高逻辑推理能力,抽象概括能力和创新能力,具有建立数学模型的能力以及综合运用数学知识去分析和解决问题的能力。
课程目标3: 发展自主学习能力,形成良好的学习习惯,树立善于思考、敢于质疑、严谨求实的科学精神。
(二)课程目标与毕业要求的关系
课程目标 | 支撑的毕业要求 |
课程目标1 | 要求1.专业知识: 具有扎实的数学基础,掌握科学计算与计算机技术的基础知识和基本方法,并具备分析实际问题和处理数据的能力。 |
课程目标1 | 要求2.问题分析: 能够将数学和计算机语言的基础知识和基本方法应用到各个相关领域,特别是复杂数据工程的分析、建模和算法设计。 |
课程目标1 | 要求5.现代工具: 能够针对实际问题,使用恰当的技术和专业软件,设计和开发新技术或新方案,并将新技术用于预测和模拟。 |
课程目标2 |
课程目标3 |
三、课程教学内容对课程目标的支撑
(一)理论教学安排
章节或知识模块 | 教学内容 | 支撑课程目标 及基本要求 | 学时 分配 | 教学方法与 学生任务 |
第一部分 实数集与 函数 | 1.1 实数 1.2 数集·确界原理 1.3 函数概念 1.4具有某些特性的函数 | 支撑课程目标1、2、3
基本要求: 1.掌握实数的基本性质和确界原理,建立实数集确界概念。2.深刻理解函数的概念,熟悉与函数性态有关的一些常见术语。 | 8 | 教学方法: 课堂讲授,启发式教学、讨论式教学。
学生任务: 作业:掌握实数的基本性质和确界原理并能运用确界原理证明有关命题;理解函数的定义,熟悉与函数性态有关的一些常见术语。 自学:总结基本初等函数的性质等。 |
第二部分 数列极限 | 2.1 数列极限概念 2.2 收敛数列的性质 2.3数列极限存在的条件 | 支撑课程目标1、2、3
基本要求: 1.深刻理解数列极限的概念,对于ε-N要领会思想方法,会用定义来证明有关极限问题。 2.熟悉收敛数列的性质,正确理解数列收敛性的判别法。掌握并会证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质。 3.掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调性定理,并会用这些定理求某些收敛数列的极限。 | 16 |
教学方法: 课堂讲授,启发式教学,学生自学。
学生任务: 作业:会用e-N定义证明极限。掌握数列极的性质,能熟练应用计算有关极限。 自学:讨论极限的发展历程,体会数学家追求科学道路的艰辛,培养学生坚韧的意志,激励学生努力学习。
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第三部分 函数极限 | 3.1 函数极限概念 3.2 函数极限的性质 3.3 函数极限存在的条件 3.4 两个重要的极限 3.5无穷小量与无穷 大量 | 支持课程目标:1、2、3
基本要求: 1.准确建立函数极限的概念,深刻理解函数极限的ε-δ,ε-M定义,明了其几何意义,并能给出函数不以某定义为极限的相应陈述,能运用函数的极限定义证明有关的某些命题。 2.掌握函数的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性质等。 3.掌握Heine定理与Cauchy准则及其实质。 4.掌握两个重要极限并牢记结论,了解证明的基本思路和方法并能灵活地加以运用。 5.掌握无穷小(大)量及其阶的概念,并由此求出某些函数的极限。 6.培养学生善于思考、敢于质疑、严谨求实的科学精神。 | 16 |
教学方法: 引导式教学,激励式教学,小组讨论。
学生任务: 作业:掌握函数极限定义、性质及其应用;熟练掌握两个重要极限、及其变形、应用;掌握无穷小量、无穷大量的概念性质、并灵活运用求极限。 自学: 总结求极限的方法。比较函数极限与数列极限的区别联系。 |
第四部分 函数的连续性 | 4.1连续性概念 4.2 连续函数的性质 4.3 初等函数的连续性 |
支持课程目标:1、2、3
基本要求: 1.深刻理解函数在一点连续定义,并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述。 2.理解函数在一点间断以及函数间断点的概念,加深对函数在一点连续这一概念的理解,并能熟练准确地识别不同类别的间断点。 3.掌握连续函数的局部性质,连续函数的有理运算性质并能加以证明,熟悉复合函数的连续性和反函数的连续性。 4.深刻理解初等函数在其有定义的区间上都是连续的,并能运用连续性的概念以及连续函数的性质加以证明,能熟练运用这一结论求初等函数的极限。 5.掌握闭区间上连续函数的性质,理解其几何意义,并能在各种有关的具体问题中加以运用。 6.通过小组协作讨论,培养学生集体荣誉感和团队协作精神。
| 12 | 教学方法: 引导式教学,激励式教学,学生讨论。
学生任务: 作业:掌握函数在一点连续的各种等价叙述;准确地识别不同类别的间断点;运用连续性求初等函数的极限;掌握闭区间上连续函数的性质,理解其几何意义,并能加以运用。 讨论:生活中的“连续”现象。 |
第五部分 导数和微分 | 5.1 导数的概念 5.2 求导法则 5.3 参变量函数的导数 5.4 高阶导数 5.5 微分 |
支持课程目标:1、2、3
基本要求: 1.了解导数产生的客观基础,并由此掌握用导数解决具体问题的思想方法。 2.掌握求导的基本方法,熟记基本公式,熟练地解决一般的求导问题。 3.了解连续性、可导性、可微性之间的关系。 4.理解微分的意义。 | 14 | 教学方法: 引导式教学,激励式教学,学生讨论,自学。
学生任务: 作业:用定义求函数在一点的导数;熟练计算初等函数的导数;掌握微分的概念及其在近似计算中的应用。 自学:总结求导方法与公式 |
第六部分 微分中值定理及其应用 |
6.1拉格朗日定理和函数的单调性 6.2 柯西中值定理和不定式极限 6.3 泰勒公式 6.4函数的极值与最大(小)值 6.5 函数的凹性与拐点 6.6 函数图像的讨论
| 支持课程目标:1、2、3
基本要求: 1.深刻理解并掌握中值定理的几何意义。 2.掌握常用的一些Taylor公式,掌握Taylor公式中的拉格朗日余项和皮亚诺余项。 3.能灵活运用洛必达法则处理不定式极限。 4.掌握利用导数性质讨论函数性质的方法,会画函数草图。 5.掌握用微分学知识解决应用问题的基本能力,如函数单调性的判定,不等式的证明,极限问题等。 6.通过自学讨论“导数的实际应用”,训练培养学生刻苦钻研的精神和诚信的品质。
| 16 | 教学方法: 课堂讲授,启发式教学,学生自学。
学生任务: 作业:掌握中值定理几何意义;熟练用洛必达法则求极限;了解泰勒公式应用;熟练利用导数讨论函数性质,解决一些简单的实际问题。 讨论:导数与微分在实际生活中的应用 |
第七部分 实数的完备性 | 7.15g确定禁止18进入海外版5g确定禁止18进入海外版实数集完备性的基本定理 | 支持课程目标: 1、2、3
能力要求: 1.理解刻划实数完备性的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、有界覆盖定理、Cauchy收敛原理等几个等价命题。 2.会用单调有界定理与数列极限的Cauchy收敛原理来证明一些极限存在与不存在问题。 | 6 | 教学方法: 课堂讲授,启发式教学。
学生任务: 作业:理解实数完备性基本定理的内容、等价性证明及定理应用。 |
四、考核方式及成绩评定
(一)考核方式
课程考核方式分为过程考核和期末考核。过程考核方式包括课程作业、课内外学习表现和阶段性测验。期末考核采用闭卷考试的方式。
(二)成绩评定
1.总成绩评定
总成绩=过程考核成绩*50%+期末考核成绩*50%
2.过程考核成绩评定
过程考核成绩(100%)= 课程作业(30%)+ 课内外学习表现(30%)+ 阶段性测验(40%)
成绩评定方式:
(1)课程作业:围绕课程的学习目标进行作业的设计,考核学生对于概念的理解情况,以及学生对于知识点的掌握、应用情况。
(2)课内外学习表现:通过学生在课内外学习表现情况、发言与提问情况,来评价学生相关的能力。
(3)阶段性测验:由任课教师组织课堂测验或布置课程报告,考察学生对已学知识的掌握情况。
3.期末考核成绩评定
期末考核主要考察学生对基本概念、相关理论和具体方法的理解与运用等;方式为闭卷考试;要求学生掌握基本概念、相关理论,运用具体方法解决相关问题。
(三)课程目标达成的考核评价方式
课程目标 | 考核评价方式 |
过程考核 | 期末考核 |
课程作业 | 课内外学习表现 | 阶段性测验 |
课程目标1 | √ |
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| √ |
课程目标2 |
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| √ | √ |
课程目标3 |
| √ |
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(四)课程目标达成的考核评价标准
课程目标 | 考核评价标准 |
高于预期 | 达到预期 | 低于预期 |
优秀 | 良好 | 合格 | 不合格 |
课程目标1 | 课程作业:对概念和知识点理解完全正确,解题过程书写工整,无错。 | 课程作业:对概念和知识点理解基本正确,解题过程基本无错。 | 课程作业:对概念和知识点理解有一些错误,解题过程有一些错误。 | 课程作业:对概念和知识点理解错误较多,解题过程有大量错误。 |
期末考核:对基本概念、相关理论的理解与应用完全正确或比较正确,基本无误,卷面成绩达到优秀。 | 期末考核:对基本概念、相关理论的理解与应用较为正确,错误较少,卷面成绩达到良好。 | 期末考核:对基本概念、 相关理论的理解与应用存在较多问题,有一些错误,卷面成绩合格。 | 期末考核:对基本概念、 相关理论的理解与应用存在大量错误,卷面成绩不合格。 |
课程目标2 | 阶段性测验:对概念、理论和研究方法的理解和运用完全正确。 | 阶段性测验:对概念、理论和研究方法的理解和运用基本正确。 | 阶段性测验:对概念、理论和研究方法的理解和运用有一些错误。 | 阶段性测验:对概念、理论和研究方法的理解和运用有大量错误。 |
期末考核:对问题进行分析、建模和研究的过程完全正确或比较正确,基本无误,卷面成绩达到优秀。 | 期末考核:对问题进行分析、建模和研究的过程比较正确,错误较少,卷面成绩达到良好。 | 期末考核:对问题进行分析、 建模和研究的过程存在较多问题,有一些错误,卷面成绩合格。 | 期末考核:对问题进行分析、 建模和研究的过程存在大量错误,卷面成绩不合格。 |
课程目标3 | 课内外学习表现:能按时出勤,能认真完成教师布置的各项学习任务,课外自主学习积极认真。 | 课内外学习表现:能按时出勤,能认真完成教师布置的大部分学习任务,学习态度比较积极认真。 | 课内外学习表现:能基本按时出勤,能完成教师布置的大部分学习任务,学习态度一般。 | 课内外学习表现:存在较多旷课情况,不能完成教师布置的大部分学习任务,学习态度敷衍消极。 |
五、课程反馈
学生可在学习过程以及学习结束后,根据课程的学习情况及时从任课教师处获得学习反馈,以便改进学习。任课教师主动进行过程反馈,在过程中根据学生学习情况,调整优化教学内容和方法,使学生达成课程目标。
六、课程评价与改进
课程考核结束后,任课教师应遵循学院教学工作委员会通过的课程达成评价机制和评价方法,对本课程的课程目标达成进行评价,出具课程达成评价报告,并报学院教学督导委员会审核。教师根据评价结果,撰写授课总结和改进计划,完善课程目标及考核方式,改进教学方法,优化教学内容,以便更好地支撑毕业要求的达成。
七、教材及主要参考书目
教学资源:
[1] 陈纪修,复旦大学,http://math.fudan.edu.cn/math_anal/.
[2] 高等教育出版社在线课程建设与应用中心http://hep.icourses.cn/.
[3] 国家级精品视频公开课http://c.snnu.net/c/116001/index.
教材:华东师范大学数学科学学院,数学分析,高等教育出版社,第五版.
参考书目:
[1] 陈纪修,於崇华,金路等,数学分析,等教育出版社,第三版.
[2] 费定晖, 周学圣,吉米多维奇数学分析习题集题解,山东科学技术出版社,2015.
[3] 梅加强,数学分析,高等教育出版社,第二版.
[4] 欧阳光中,朱学炎,金福临,陈传璋,数学分析,高等教育出版社,第四版.
[5] W.Rudin,数学分析原理,机械工业出版社,2019.
制订人: 杜姗姗、戴绍虞、钱欣洁 (修订日期: 2023 年 7 月)
审订人: 林洪伟、李德浩 (审订日期: 2023 年 7 月)